La conjetura 3x + 1 está cerca de resolverse

Si el lector no sabe qué es la conjetura de Collatz en matemáticas, será bueno que se acerque al tema: es simple de entender y complicadísima de demostrar. Esta propuesta matemática, hecha en 1937 por el matemático alemán Lothar Collatz, dice:

  • Tómese un número entero positivo (1, 2, 3, etcétera)
  • Si es par, divídase entre 2
  • Si es impar, multiplíquese por 3 y súmele uno
  • Repita este proceso hasta llegar a 1 o bien, hasta caer en un ciclo repetitivo.

Por ejemplo, 10 tiene la secuencia: 5, 16, 8, 4, 2 y 1. Podrá hallar el lector que este proceso se da con cualquier número y de hecho, la conjetura se ha verificado para valores que rondan 5.76 x10^18.

Se supone que la conjetura es cierta, es decir, no hay un número que no cumpla con una secuencia que eventualmente le lleve a la secuencia 4-2-1. Sin embargo, hasta el día de hoy no existe ninguna prueba analítica de ello. Paul Erdös, uno de los matemáticos más importantes del siglo pasado, dijo que [ las matemáticas no estaban listas para resolver semejantes problemas».

Cerca de resolverse

Pero Terence Tao, de la Universidad de California, parece estar acercándose a una prueba como nunca antes. ¿Pero por qué «se está acercando» y no es la prueba definitiva? Porque usa un argumento de la probabilidad: «todas las órbitas del mapa de Collatz se atienen casi siempre a valores acotados».

Pero ¿por qué esto es importante? La razón es que si puedes mostrar que la secuencia mínima de Collatz par N es siempre menor que N para todo N>1, entonces la prueba se habría realizado. La razón es simple: si se obtiene un valor m el cual es más pequeño que N, entonces el resto de la secuencia para N es la misma que si hubiese uno empezado desde m y como ahora tenemos que el mínimo de la secuencia es menor que m, entonces tendríamos la prueba.

Tao no ha hecho la prueba definitiva pero ha probado que: (teorema 2): Sea f cualquier función definida para los enteros, excluyendo el cero, y f(N) se vaya al infinito con N, entonces el mínimo de la secuencia de Collatz para N es menor que f(N) para casi todo N.

Si tomamos f como la función identidad, tenemos que el valor mínimo de Collatz para N es menor que N.

El problema de Tao es su frase «para casi siempre». Esto es una señal de que se tiene un teorema probabilístico. Esto significa que el conjunto N que se tome, el cual es denso en el sentido logarítmico, quiere decir que se ha probado para un número insignificante de casos. Y esto de «insignificante» quiere decir cero casos o aplicado a un subconjunto de N, aunque este valor sea muy grande.

Tao escribe en su blog: «estamos ante una situación en donde parece haber una gran brecha entre «casi todos» y «todos» los resultados».

Como sea, buen intento de Tao y un enfoque que quizás no había sido presentado con anterioridad. Algunos de sus resultados quizás sean la clave para resolver este problema.

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